Простейший сетчатый орнамент представляет собой сетку из параллелограмов. В более сложных орнаментах всегда можно найти сетку, узлы которой составляют вполне определенную систему равных точек орнамента.
Различают пять параллелограматических систем точек или узлов, которые могут лежать в основе композиции орнамента и отличаются друг от друга своей симметрией (рис. 47):
47. Пять систем узлов для построения сетчатых орнаментов.
1. Квадратная система узлов, позволяющая построить сетку из квадратов. Условимся обозначать эту систему узлов А : А.
2. Правильная треугольная система узлов с наклоном осей в 60° друг к другу, состоящая из равносторонних треугольников. Обозначим эту систему АЗА.
3. Прямоугольная система узлов (знак В : А), состоящая из любых прямоугольников.
4. Ромбическая система узлов, состоящая из ромбов общего вида; будем обозначать ее А1А.
5. Косая параллелограматическая система узлов (знак Б/А), состоящая из любых параллелограмов.
Легко заметить, что в результате сочетания двух осей переносов (расположенных под различными углами одна к другой) в системе уз — лоз возникает бесконечное множество новых осей переносов; чтобы получить эти оси, достаточно соединить прямой любые две точки данной системы узлов. Следовательно, одной и той же системе узлов отвечает бесчисленное множество различных плоских сеток в зависимости от способа соединения узлов прямыми линиями. Так на рис. 48 изображены сетки, полученные из одной и той же квадратной системы узлов. Учитывая это, в дальнейшем мы будем говорить о системе узлов, а не о системе сеток.
48. Варианты сетки из квадратов для построения различных сетчатых орнаментов.
Итак: параллелограматических систем узлов известно только пять, а сеток, получаемых из них путем различного соединения узлов, — бесчисленное множество. Эти пять систем узлов и лежат в основе композиции всех видов сетчатых орнаментов.
Различают семнадцать видов симметрии сетчатых орнаментов. Все многообразие сетчатых орнаментов, в зависимости от того или иного расположения в них элементов симметрии, охватывается этими семнадцатью видами. В пределах вида симметрии сетчатого орнамента различают отдельные орнаменты по следующим признакам:
1) какая система узлов лежит в основе композиции орнамента (квадратная, ромбическая и пр. из пяти групп);
2) какая фигура повторяется по избранной системе узлов (геометрическая, растение или животное);
3) как расположены фигуры, т. е. отделены ли друг от друга, заполняют ли плоскость без промежутков, переплетаются ли и т. д.;
4) по раскраске; нарушает ли раскраска симметрию орнамента или нет.
С тем или иным расположением элементов симметрии в каждом виде связаны особые зрительные впечатления. Это особенно удобно наблюдать на примерах, где все виды симметрии сетчатых орнаментов построены из одной и той же элементарной фигурки. Так сделаны все рисунки в этой главе, иллюстрирующие отдельные виды симметрии таких орнаментов. На практике встречается сочетание в сетчатом орнаменте, например, вращающихся фигур со статичными фигурами. Такое сочетание элементов орнамента дает еще иные ряды зрительных впечатлений, обусловленные влиянием одного вида симметрии сетчатых орнаментов на другой.
Перейдем к изучению способов построения отдельных видов симметрии сетчатых орнаментов (рис. 49—67, стр. 65—74).
Первый вид симметрии сетчатых орнаментов (условимся обозначать его В/А) может быть получен путем переноса любой асимметричной фигуры по двум осям переносов, расположенным под произвольным углом друг к другу. Равные фигуры, повторяемые переносами по обеим осям, могут быть совершенно отделены друг от друга, сами могут состоять из разобщенных частей, могут пересекаться друг с другом и, наконец, могут примыкать друг к другу, заполняя пространство без промежутков. Примеры этого вида симметрии сетчатых орнаментов изображены на рис. 49 и 50.
Если элементарная фигура орнамента сама по себе сложна и если дан небольшой участок орнамента, то разобраться в его симметрии иногда бывает довольно трудно.
Второй вид (рис. 51) симметрии сетчатых орнаментов может быть получен путем переноса полосы орнамента (бордюра А) в направлении, перпендикулярном к его оси. Поэтому второй вид симметрии можно обозначить В : А.
Другими словами, второй вид симметрии сетчатых орнаментов может быть получен путем переноса любой асимметричной фигуры по двум осям переносов, причем горизонтальная ось переносов служит для элементарной фигуры плоскостью скользящего отражения.
Фигуры и в этом виде орнаментов могут (так же как и во всех остальных видах) быть разобщены, или заполнять пространство без промежутков, или пересекаться между собой.
Третий вид (рис. 52) симметрии сетчатых орнаментов может быть получен из бордюров вида А : 2, переносимых в общем случае в косом направлении по оси В (знак этого вида симметрии В/А : 2).
Четвертый вид (рис. 53) симметрии получаем повторением бордюра вида А : 2 с помощью плоскости скользящего отражения В, перпендикулярной к оси бордюра (знак этого вида симметрии %В : А : 2).
Примером этого вида симметрии может служить орнамент из ромбов, заштрихованных по двух разным направлениям. В горизонтальный бордюр (А : 2) входят только одинаково заштрихованные ромбы, расположенные цепочкой. Весь орнамент строится скользящим переносом этой цепочки по вертикали. Плоскости скользящего отражения проходят через середины смежных сторон ромбов по горизонтальным и по вертикальным направлениям.
Для построения этого вида орнамента, заполняющего плоскости равными фигурами, исходим из прямоугольной системы углов. Через точки 1, 2, 3 этой системы проводим произвольную линию и повторяем ее, поворачивая на 180° (см. рис. 67).
Пятый вид (рис. 54) симметрии возникает из повторения горизонтального бордюра (вида Л : М) скользящим отражением в направлении вертикальной оси (В). Знак такой симметрии будет поэтому В:А:М.
Такой орнамент может быть получен из элементарной фигуры, имеющей только плоскость симметрии, путем переноса этой фигуры по двум осям, из которых одна должна быть плоскостью скользящего отражения.
Для построения такого орнамента из равных частей, заполняющих плоскость, пользуемся прямоугольной системой узлов. Произвольно выбранную внутри прямоугольника точку А соединяем произвольными линиями с двумя узлами Б и С сетки и с произвольной точкой Д на стороне, противоположной стороне БС. Через точку Д проводим вертикальную прямую и затем повторяем по сетке это построение, как показано на рис. 67.
Шестой вид (рис. 55) симметрии сетчатых орнаментов получается из фигуры, имеющей только одну плоскость симметрии, повторением этой фигуры по двум осям переносов, образующим с плоскостью симметрии произвольные равные косые углы. Знаком этого вида симметрии, соответственно способу его построения, будет Л/Л/УИ. Следует отметить, что общеизвестный орнамент из чешуи имеет ту же симметрию.
Для построения подобного орнамента из равных фигур, заполняющих плоскость, исходим из ромбической системы узлов. Элементами построения служат: произвольная линия АБ и прямая линия БС. Подвергая линию АБ отражению в плоскости симметрии БС, полученную симметричную фигуру переносим по косым осям, параллельным сторонам ромба, построим весь орнамент (см. рис. 67).
Седьмой вид (рис. 56) симметрии может быть образован путем переноса любой фигуры, имеющей только одну плоскость симметрии, по двум взаимно перпендикулярным осям — вертикальной и горизонтальной. Знак симметрии этого орнамента В : А : М.
Для построения орнаментов этого вида из равных фигур, заполняющих плоскость, применяют прямоугольную систему узлов. Вертикальные стороны прямоугольников совпадают с плоскостями симметрии. Во всех случаях, когда в орнаменте есть плоскости симметрии, элементарные фигуры, заполняющие плоскость, имеют прямолинейные стороны, совпадающие с плоскостями симметрии. Форма другой пары сторон фигуры— произвольная (см. рис. 67).
Восьмой вид симметрии (рис. 57) может быть получен переносами элементарной фигуры с симметрией 2М по косым осям А, образующим произвольные равные углы с плоскостями симметрии. Знак симметрии А1А :2-М.
Для построения орнамента этого вида из равных фигур, заполняющих плоскость без промежутков, применяют ромбическую систему узлов. Двойные оси располагаем в середине ромба, в узлах сетки и в серединах сторон ромба. Плоскости симметрии проводим по диагоналям ромба. Элементарная фигура строится проведением прямых по плоскостям симметрии. Оси симметрии Л и Б соединяются произвольной линией (см. рис. 67).
Девятый вид симметрии (рис. 58) возникает в результате переносов фигуры с симметрией 2 М по двум осям Л и Б по горизонтальному и вертикальному направлениям. Этот орнамент обладает вертикальными и горизонтальными плоскостями симметрии; в пересечении плоскостей расположены оси симметрии. Знак этого вида—В:А:2-М.
Орнамент из равных фигур, заполняющих плоскость, для данного вида симметрии представляет собой простую прямоугольную сетку. Стороны прямоугольников проходят по плоскостям симметрии (см. рис. 67).
Десятый вид симметрии (рис. 59) образуется простым переносом фигуры с симметрией четвертого вида орнаментальных лент по двум взаимно перпендикулярным и равным осям — А : А. Знак симметрии этого вида А : А : 4.
Для заполнения плоскости равными фигурами на основе такой симметрии соединяют любой замкнутой кривой четвертные оси симметрии, расположенные по вершинам квадратной координатной сетки. Образующаяся при этом фигура повторяется четвертными осями и осями переносов (см. рис. 67). Так как данный вид симметрии не содержит плоскостей симметрии, то всякий орнамент этого вида может существовать в двух вариантах — правом и левом.
Одиннадцатый вид симметрии (рис. 60) может быть образован также фигурами с симметрией 4, как и в десятом виде, но эти фигуры повторяются в плоскости не осями переносов, а двумя равными и взаимно перпендикулярными плоскостями скользящего отражения А : А. Знак этого вида симметрии А : А : 4.
Благодаря наличию простых плоскостей симметрии данный вид орнамента не может встречаться в правом и левом вариантах. В этом виде симметрии заполнение плоскости равными фигурами производится проведением прямых линий по плоскости симметрии. В вершинах и в центрах квадратов образующейся при этом квадратной сетки располагаются оси симметрии. Соединяя любой кривой линией ближайшие оси и повторяя эту кривую имеющимися элементами симметрии, разбиваем всю плоскость на равные фигуры, заполняющие ее без промежутков (см. рис. 67).
Двенадцатый вид симметрии (рис. 61) является наиболее простым для восприятия и наиболее распространенным. Он возникает в результате простого переноса фигур с симметрией 4-М по двум взаимно перпендикулярным и равным осям А : А. Знак этого вида симметрии будет — АА:4-М. Элементарной фигурой в этом орнаменте служит розетка, вписанная в квадрат.
В этом виде симметрии заполнение плоскостей равными фигурами производится проведением прямых по плоскостям симметрии (см. рис. 67).
Тринадцатый вид симметрии (рис. 62) получается из фигур с симметрией 3 при помощи двух равных осей переносов А : А, образующих между собою угол в 60°. Знак этой симметрии будет Л : /1 : 3.
Заполнение плоскости равными фигурами иллюстрировано рис. 67. Элементом построения служит разомкнутая кривая, проходящая через три вершины правильного треугольника сетки (правильная треугольная система узлов).
Четырнадцатый вид симметрии (рис. 63) может быть построен из фигур с симметрией в М, переносимых по равным осям Л : Л, образующих между собою угол в 60° и параллельных плоскости симметрии М. Знак такой симметрии Л :Л — М-.3.
Заполнение плоскости равными фигурами производится построением треугольной сетки и повторением любой кривой, соединяющей центр треугольника с его вершиной (см. рис. 67).
Пятнадцатый вид симметрии (рис. 64) отличается от четырнадцатого только направлением осей — Л : А, которые в данном случае не совпадают с плоскостями симметрии М, а делят угол между ними пополам. Соответственно этому знак такой симметрии будет А:А/М-3.
50.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
63.
64.
— 65.
66
67. Орнаменты, заполняющие плоскость без промежутков (17 видов).
Заполнение плоскости равными фигурами производится в данном случае единственным способом — равносторонними треугольниками (см. рис. 67).
Шестнадцатый вид симметрии возникает в результате переноса по осям А: А фигур с симметрией 6 (рис. 65). Знак этого вида А : А : 6.
Заполнение плоскости равными фигурами производится для этого вида симметрии с помощью вспомогательной треугольной сетки и двух произвольных кривых, из них одна должна соединять две вершины треугольника, а другая центр с вершиной (см. рис. 67).
Семнадцатый вид симметрии получается из фигур 6-М в результате переносов их по осям А : А (рис. 66). Знак этого последнего вида симметрии А : А М 6.
Заполнение плоскости равными фигурами по семнадцатому виду симметрии возможно единственным способом, указанным на рис. 67.